Скобки Пуассона

Пусть ƒ(p, q, t) — некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени

= + _k + _k.

Подставив сюда вместо  и  их выражения из уравнений Гамильтона (40.4), получим

= + {Hƒ},                                                    (42.1)

где введено обозначение

{Hƒ} =  − .                               (42.2)

Выражение (42.2) называют скобками Пуассона для величин H и ƒ.

Такие функции от динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются, как мы знаем, интегралами движения. Мы видим из (42.1), что условие того, чтобы величина ƒ была интегралом движения (dƒ/dt=0), можно написать в виде

+ {Hƒ} = 0.                                                           (42.3)

Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то

{Hƒ} = 0,                                                                    (42.4)

т.е. его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль.

Для любой пары величин ƒ и g скобки Пуассона определяются аналогично (42.2):

{ƒg} =   − .                               (42.5)

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко выводимыми из определения.

Если переставить функции, то скобки переменят знак; если одна из функций — постоянная (c), то скобка равна нулю:

{ƒg} = −{gƒ},                                                           (42.6)

{ƒc} = 0.                                                                   (42.7)

Далее,

{ƒ₁ + ƒ₂,g} = {ƒ₁g} + {ƒ₂g},                                     (42.8)

{ƒ₁ƒ₂,g} = ƒ₁{ƒ₂g} + ƒ₂{ƒ₁g}.                                   (42.9)

Взяв частную производную от (42.5) по времени, получим

{ƒg} =  g  + ƒ .                                   (42.10)

Если одна из функций ƒ или g совпадает с одним из импульсов или координат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной:

{ƒq_k} = ,                                                         (42.11)

{ƒp_k} = .                                                         (42.12)

Формулу (42.11), например, получим, положив в (42.5) g=q_k; вся сумма сведется при этом к одному члену, так как =δ_ki, а =0.  Положив в (42.11) и (42.12) функцию ƒ равной q_i и p_i, получим, в частности,

{q_iq_k} = 0,  {p_ip_k} = 0,  {p_iq_k} = δ_ik.                       (42.13)

Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение

{ƒ{gh}} + {g{hƒ}} + {h{ƒg}} = 0;                         (42.14)

оно называется тождеством Якоби.