Страница 1 из 2
Принципом наименьшего действия движение механической системы определяется полностью: путем решения следующих из этого принципа уравнений движения можно найти как форму траектории, так и зависимость положения на траектории от времени.
Если ограничиться более узким вопросом об определении лишь самой траектории (оставляя в стороне временную часть задачи), то оказывается возможным установить для этой цели упрощенную форму принципа наименьшего действия.
Предположим, что функция Лагранжа, а с нею и функция Гамильтона не содержат времени явно, так что энергия системы сохраняется:
H (p,q) = Е = const.
Согласно принципу наименьшего действия вариация действия для заданных начальных и конечных значений координат и моментов времени (скажем, t0 и t) равна нулю. Если же допускать варьирование конечного момента времени t при фиксированных по-прежнему начальных и конечных координатах, то имеем (ср. (43.7)):
δS = −H δt. (44.1)
Будем теперь сравнивать не все виртуальные движения системы, а лишь те, которые удовлетворяют закону сохранения энергии. Для таких траекторий мы можем заменить H в (44.1) постоянной E, что дает
δS + E δt = 0. (44.2)
Написав действие в виде (43.8) и снова заменяя H на E, имеем
S = 
pi dqi − E (t − t0). (44.3)
Первый член в этом выражении
S0 = pi dqi (44.4)
иногда называют укороченным действием. Подставив (44.3) в (44.2), найдем
δS0 = 0. (44.5)
Таким образом, укороченное действие имеет минимум по отношению ко всем траекториям, удовлетворяющим закону сохранения энергии и проходящим через конечную точку в произвольный момент времени. Для того чтобы пользоваться таким вариационным принципом, необходимо предварительно выразить импульсы, а с ними и все подынтегральное выражение в (44.4) через координаты q и их дифференциалы dq. Для этого надо воспользоваться равенствами
pi = 
L 
q, 
, (44.6)
представляющими собой определение импульсов, и уравнением закона сохранения энергии
E q, = E. (44.7)
Выразив из последнего уравнения дифференциал dt через координаты q и их дифференциалы dq и подставив в формулы (44.6), мы выразим импульсы через q и dq, причем энергия E будет играть роль параметра. Получающийся таким образом вариационный принцип определяет траекторию системы; этот принцип называют обычно принципом Мопертюи (хотя его точная формулировка была дана Эйлером и Лагранжем).
Произведем указанные действия в явном виде для обычной формы функции Лагранжа (5.5) как разности кинетической и потенциальной энергий:
L = 
αik (q)
ik − U (q).
При этом импульсы
pi = 
= 
αik (q)k ,
а энергия
E = αik (q)ik + U (q).
