Страница 1 из 3
В дальнейшем мы будем часто пользоваться понятием события. Событие определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Таким образом, событие, происходящее с некоторой материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда происходит событие.
Часто полезно из соображений наглядности пользоваться воображаемым четырехмерным пространством, на осях которого откладываются три пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изображается точкой. Эти точки называются мировыми точками. Всякой частице соответствует некоторая линия (мировая линия) в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая линия.
Выразим теперь принцип инвариантности скорости света математически. Для этого рассмотрим две системы отсчета K и K', движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью. Координатные оси выберем при этом таким образом, чтобы оси x и x' совпадали, а оси y и z были параллельны осям y' и z'; время в системах K и K' обозначим через t и t'.
Пусть первое событие состоит в том, что отправляется сигнал, распространяющийся со скоростью света, из точки, имеющей координаты x1, y1, z1 в системе K в момент времени t1 в этой же системе. Будем наблюдать из системы K распространение этого сигнала. Пусть второе событие состоит в том, что сигнал приходит в точку x2, y2, z2 в момент времени t2. Сигнал распространяется со скоростью c; пройденное им расстояние равно поэтому c(t2−t2). С другой стороны, это же расстояние равно [(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2]1⁄2. Таким образом, мы можем написать следующую зависимость между координатами обоих событий в системе K:
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − c2(t2 − t1)2 = 0. (2.1)
Те же два события, т. е. распространение сигнала, можно наблюдать из системы K'. Пусть координаты первого события в системе K': x'1, y'1, z'1, t'1 а второго: x'2, y'2, z'2, t'2. Поскольку скорость света в системах K и K' одинакова, то, аналогично (2.1), имеем
(x'2 − x'1)2 + (y'2 − y'1)2 + (z'2 − z'1)2 − c2(t'2 − t'1)2 = 0. (2.2)
Если x1, y1, z1, t1 и x2, y2, z2, t2 — координаты каких-либо двух событий, то величина
s12 = [c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2]1⁄2 (2.3)
называется интервалом между этими двумя событиями.
Таким образом, из инвариантности скорости света следует, что если интервал между двумя событиями равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и во всякой другой системе.
Если два события бесконечно близки друг к другу, то для интервала ds между ними имеем
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (2.4)
Форма выражения (2.3) или (2.4) позволяет рассматривать интервал, с формальной математической точки зрения, как расстояние между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве (на осях которого откладываем x, y, z и произведение ct). Имеется, однако, существенное отличие в правиле составления этой величины по сравнению с правилом обычной геометрии: при образовании квадрата интервала квадраты разностей координат по различным осям суммируются не с одинаковыми, а с различными знаками.
Как было показано выше, если ds=0 в некоторой инерциальной системе отсчета, то ds'=0 и в другой системе. С другой стороны, ds и ds' — бесконечно малые одинакового порядка. Из этих двух обстоятельств следует, что ds2 и ds'2 должны быть пропорциональны друг другу:
ds2 = αds'2,
причем коэффициент о может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости обеих инерциальных систем. Он не может зависеть от координат и времени, так как тогда различные точки пространства и моменты времени были бы не равноценны, что противоречит однородности пространства и времени. Он не может зависеть также и от направления относительной скорости, так как это противоречило бы изотропности пространства.
Рассмотрим три системы отсчета K, K1, K2 и пусть V1 и V2 — скорости движения систем K1 и K2 относительно K. Тогда имеем
ds2 = α(V1)d
, ds2 = α(V2)d
.
С тем же основанием можно написать:
d = α(V12)d,
где V12 — абсолютная величина скорости движения K2 относительно K1. Сравнивая друг с другом эти соотношения, найдем, что должно быть:
= α(V12). (2.5)
Но V12 зависит не только от абсолютных величин векторов V1 и V2, но и от угла между ними. Между тем последний вообще не входит в левую часть соотношения (2.5). Ясно поэтому, что это соотношение может быть справедливым лишь, если функция α(V) сводится к постоянной величине, равной, как это следует из того же соотношения, единице.
