Страница 5 из 5
Геометрически он изображает элемент поверхности, равный и «нормальный» элементу dfik; все лежащие на нем отрезки ортогональны ко всем отрезкам на элементе dfik. Очевидно, что dfikdf*ik=0.
3. Интеграл по гиперповерхности, т. е. по трехмерному многообразию. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен, как известно, определителю третьего порядка, составленному из компонент этих векторов. В 4-пространстве аналогичным образом выражаются проекции объема «параллелепипеда» (т.е. «площади» гиперповерхности), построенного на трех 4-векторах dxi, dx'i, dx''i; они даются определителями
dSikl = 
,
составляющими тензор 3-ранга, антисимметричный по трем индексам. В качестве элемента интегрирования по гиперповерхности удобнее пользоваться 4-вектором dSi, дуальным тензору dSikl
dSi = − 
eiklmdSklm, dSklm = enklmdSn. (6.12)
При этом
dS0 = dS123, dS1 = dS023,...
Геометрически dSi — 4-вектор, по величине равный «площади» элемента гиперповерхности и по направлению нормальный к этому элементу (т. е. перпендикулярный ко всем прямым, проведенным в элементе гиперповерхности). В частности, dS0=dxdydz, т. е. представляет собой элемент трехмерного объема dV — проекцию элемента гиперповерхности на гиперплоскость x0=const.
4. Интеграл по четырехмерному объему. Элементом интегрирования является произведение дифференциалов:
dΩ = dx0dx1dx2dx3 = c dt dV. (6.13)
Этот элемент является скаляром: очевидно, что объем участка 4-пространства не меняется при повороте системы координат.
Аналогично теоремам Гаусса и Стокса трехмерного векторного анализа существуют теоремы, позволяющие преобразовывать друг в друга четырехмерные интегралы.
Интеграл по замкнутой гиперповерхности можно преобразовать в интеграл по заключенному в ней 4-объему путем замены элемента интегрирования dSi на оператор:
dSi → dΩ 
. (6.14)
Например, для интеграла от вектора Ai имеем
AidSi = 
dΩ. (6.15)
Эта формула является обобщением теоремы Гаусса.
Интеграл по двумерной поверхности преобразуется в интеграл по «охватываемой» ею гиперповерхности заменой элемента интегрирования df*ik на оператор:
df*ik → dSi 
− dSk . (6.16)
Например, для интеграла от антисимметричного тензора Aik имеем
Aikdf*ik = 
dSi 
− dSk 
= dSi . (6.17)
Интеграл по четырехмерной замкнутой линии преобразуется в интеграл по охватываемой ею поверхности путем замены
dxi → dfki . (6.18)
Так, для интеграла от вектора имеем
Aidxi = dfki 
= dfki 
− , (6.19)
что является обобщением теоремы Стокса.
