Свойства тензора кривизны

Перейдем к тензору кривизны трехмерного пространства; обозначим его через P_αβγδ, а метрический тензор через γ_αβ, где индексы α, β, ...пробегают значения 1, 2, 3. Пары индексов αβ и γδ пробегают всего три существенно различных набора значений: 23, 31, 12 (перестановка индексов в паре меняет лишь знак компоненты тензора). Поскольку тензор P_αβγδ симметричен по отношению к перестановке этих пар, то имеется всего 3·2/2=3 независимых компоненты с различными парами индексов, а также 3 компоненты с одинаковыми парами. Тождество (92.4) не прибавляет ничего нового к этим ограничениям. Таким образом, в трехмерном пространстве тензор кривизны имеет шесть независимых компонент. Столько же компонент имеет симметричный тензор P_αβ. Поэтому из линейных соотношений P_αβ=g^γδP_γαδβ все компоненты тензора P_αβγδ могут быть выражены через P_αβ и метрический тензор γ_αβ. Если выбрать систему координат, декартову в данной точке, то надлежащим ее поворотом можно привести тензор P_αβ к главным осям. Таким образом, кривизна трехмерного пространства в каждой точке определяется тремя величинами.

Наконец, перейдем к четырехмерному пространству. Пары индексов ik и lm пробегают в этом случае 6 различных наборов значений: 01, 02, 03, 23, 31, 12. Поэтому имеется 6 компонент R_iklm с одинаковыми и 6·5/2=15 компонент с различными парами индексов. Последние, однако, еще не все независимы друг от друга: три компоненты, у которых все четыре индекса различны, связаны в силу (92.4) одним тождеством:

R₀₁₂₃ + R₀₃₁₂ + R₀₂₃₁ = 0.                    (92.13)

Таким образом, в 4-пространстве тензор кривизны имеет всего 20 независимых компонент.

Выбирая систему координат, галилееву в данной точке, и рассматривая преобразования, поворачивающие эту систему (так что значения g_ik в данной точке не меняются), можно добиться обращения в нуль шести компонент тензора кривизны (шесть есть число независимых поворотов 4-системы координат). Таким образом, в общем случае кривизна 4-пространства определяется в каждой точке 14 величинами.

Если R_ik=0, то в произвольной системе координат тензор кривизны имеет всего 10 независимых компонент. Надлежащим преобразованием координат можно тогда привести тензор R_iklm (в заданной точке 4-пространства) к «каноническому» виду, в котором его компоненты выражаются в общем случае через 4 независимые величины; в особых случаях это число может оказаться даже меньшим.

Если же R_ik≠0, то все то же самое будет относиться к тензору кривизны после выделения из него определенной части, выражающейся через компоненты R_ik. Именно, составим тензор

C_iklm = R_iklm + R_ilg_km + R_img_kl + R_klg_im − R_kmg_il + R(g_ilg_km − g_img_kl).       (92.14)

Легко видеть, что этот тензор обладает всеми свойствами симметрии тензора R_iklm, a при свертывании по паре индексов (il или km) дает нуль.

Покажем, каким образом строится классификация возможных типов канонической формы тензора кривизны при R_ik=0.

Будем считать, что метрика в данной точке 4-пространства приведена к галилеевому виду. Совокупность 20 независимых компонент тензор R_iklm представим как совокупность трех трехмерных тензоров, определенных следующим образом:

A_αβ = B_0α0β,  C_αβ = e_αγδe_βλµR_γδλµ,  Bαβ = e_αγδR_0βγδ                 (92.15)

(e_αβγ — единичный антисимметричный тензор; поскольку трехмерная метрика декартова, нет необходимости делать при суммировании различие между верхними и нижними индексами). Тензоры А_αβ и С_αβ по определению симметричны; тензор В_αβ, вообще говоря, несимметричен, а его след равен нулю в силу (92.13). Согласно определениям (92.15) имеем, например:

В₁₁ = R₀₁₂₃,  B₂₁ = R₀₁₃₁,  В₃₁ = R₀₁₁₂,  С₁₁ = R₂₃₂₃, ...

Легко видеть, что условия R_km=g_ilR_iklm=0 эквивалентны следующим соотношениям между компонентами тензоров (92.15):

A_αα = 0,  В_αβ = В_βα,  А_αβ = −С_αβ.                                        (92.16)

Далее введем симметричный комплексный тензор

D_αβ = (А_αβ + 2iB_αβ − C_αβ) = А_αβ + iB_αβ.                         (92.17)

Такое объединение двух вещественных трехмерных тензоров А_αβ и B_αβ в один комплексный тензор как раз соответствует объединению двух векторов Е и Н в комплексный вектор F, а возникающая в результате связь между D_αβ и 4-тензором R_iklm соответствует связи между F и 4-тензором F_ik. Отсюда следует, что четырехмерные преобразования тензора R_iklm эквивалентны трехмерным комплексным поворотам, производимым над тензором D_αβ.

По отношению к этим поворотам могут быть определены собственные значения λ=λ'+iλ'' и собственные векторы n_α (вообще говоря, комплексные) как решения системы уравнений

D_αβn_β = λn_α.                     (92.18)

Величины λ являются инвариантами тензора кривизны. Поскольку след D_αα=0, то равна нулю также и сумма корней уравнения (92.18):

λ⁽¹⁾ + λ⁽²⁾ + λ⁽³⁾ = 0.

В зависимости от числа независимых собственных векторов n_α мы приходим к следующей классификации возможных случаев приведения тензора кривизны, —к каноническим типам Петрова I—III.