Свойства тензора кривизны

Тензор кривизны обладает свойствами симметрии, для полного выявления которых следует перейти от смешанных компонент Rⁱ_klm к ковариантным:

R_iklm = g_inRⁿ_klm.

Простыми преобразованиями легко получить для них следующее выражение:

R_iklm =   +  −  −  + g_np( − ).   (92.1)

Из этого выражения очевидны следующие свойства симметрии:

R_iklm = −R_kilm = −R_ikml,                                (92.2)

R_iklm = R_lmik,                                                 (92.3)

т. е. тензор антисимметричен по каждой из пар индексов ik и lm и симметричен по отношению к перестановке этих двух пар друг с другом. В частности, все компоненты R_iklm i диагональные по паре индексов ik или lm, равны нулю.

Далее легко проверить, что равна нулю циклическая сумма из компонент R_iklm образованная по любым трем из их индексов, например:

R_iklm + R_imkl + R_ilmk = 0.                              (92.4)

(остальные соотношения такого рода получаются из (92.4) автоматически в силу свойств (92.2), (92.3)).

Наконец, докажем следующее тождество Бианки:

Rⁿ_ikl;m + Rⁿ_imk;l + Rⁿ_ilm;k = 0.                      (92.5)

Его удобно проверить, воспользовавшись локально-геодезической системой координат. В силу тензорного характера соотношение (92.5) будет тем самым справедливым и в любой другой системе. Дифференцируя выражение (91.4) и полагая затем в нем =0, находим в рассматриваемой точке

Rⁿ_ikl;m = =  − .

С помощью этого выражения легко убедиться в том, что (92.5) действительно имеет место.

Из тензора кривизны можно путем упрощения построить тензор второго ранга. Такое упрощение можно произвести только одним способом: упрощение тензора R_iklm по индексам i и k или l и m дает нуль в силу антисимметричности по ним, а упрощение по любым другим парам дает, с точностью до знака, одинаковый результат. Мы определим тензор R_ik (его называют тензором Риччи) как

R_ik = g^lmR_limk = R^l_ilk.                                    (92.6)

Согласно (91.4) имеем

R_ik =  − +  − .       (92.7)

Этот тензор, очевидно, симметричен:

R_ik = R_ki.                                                        (92.8)

Наконец, упрощая R_ik, получим инвариант

R = g^ikR_ik = g^ilg^kmR_iklm,                                (92.9)

называемый скалярной кривизной пространства.

Компоненты тензора R_ik удовлетворяют дифференциальному тождеству, получающемуся упрощением тождества Бианки (92.5) по парам индексов ik и ln:

R^l_m;l =  .                                            (92.10)

В силу соотношений (92.2)-(92.4) не все компоненты тензора кривизны независимы. Определим число независимых компонент.

Определение тензора кривизны, даваемое написанными выше формулами, относится к пространству любого числа измерений. Рассмотрим сначала случай пространства двух измерений, т. е. обычную поверхность; обозначим в этом случае (в отличие от четырехмерных величин) тензор кривизны через P_abcd, а метрический тензор — через  γ_ab, где индексы a, b,... пробегают значения 1, 2. Поскольку в каждой из пар ab и cd два индекса должны иметь различные значения, то очевидно, что все отличные от нуля компоненты тензора кривизны либо совпадают друг с другом, либо отличаются знаком. Таким образом, в этом случае имеется лишь одна независимая компонента, например P₁₂₁₂. Легко найти, что скалярная кривизна при этом равна

P = ,  γ ≡ |γ_αβ| = γ₁₁γ₂₂ − (γ₁₂)².          (92.11)

Величина Р/2 совпадает с так называемой гауссовой кривизной поверхности K:

 = K = ,                                             (92.12)

где ρ₁, ρ₂ — главные радиусы кривизны поверхности в данной ее точке (напомним, что ρ₁ и ρ₂ считаются имеющими одинаковые знаки, если соответствующие им центры кривизны расположены по одну сторону от поверхности, и имеющими разные знаки, если центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности; в первом случае K>0, а во втором K<0).