Точность сохранения адиабатического инварианта

Уравнение движения в форме (50.10) позволяет снова убедиться в адиабатической инвариантности переменной действия.

Функция S₀(q,I;λ) — неоднозначная функция q; при возвращении координаты к первоначальному значению к S₀ прибавляется целое кратное от 2I. Производная же (50.9) — однозначная функция, так как дифференцирование производится при постоянном I и прибавляющиеся к S₀ приращения при этом исчезают. Как и всякая однозначная функция, функция Λ, будучи выражена через угловую переменную ω, будет периодической функцией этой переменной. Среднее же (по периоду) значение производной ∂Λ/∂ω от периодической функции обращается в нуль. Поэтому, усредняя уравнение (50.10) и вынося при этом Λ (при медленном изменении λ) из-под знака среднего, получим

= − = 0,                                                (51.1)

что и требовалось.

Уравнения движения (50.10), (50.11) позволяют рассмотреть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть параметр λ(t) стремится при t→− и t→+ к постоянным пределам λ₋ и λ₊; задано начальное (при t=−) значение I₋ адиабатического инварианта, и требуется найти его приращение ΔI=I₊−I₋ ко времени t=+.

Из (50.10) имеем

ΔI = − dt.                                             (51.2)

Как уже было указано, величина Λ — периодическая (с периодом 2) функция переменной ω разложим ее в ряд Фурье:

Λ = e^ilω Λ_l                                                 (51.3)

(в силу вещественности Λ коэффициенты разложения связаны при этом соотношениями Λ_−l=Λ_l^*). Отсюда для производной ∂Λ/∂ω имеем

= ile^ilω Λ_l = 2Reile^ilω Λ_l .                   (51.4)

При достаточно малом  производная  положительна (ее знак совпадает со знаком ω, см. (50.11)), т.е. ω — монотонная функция времени t. При переходе в (51.2) от интегрирования по dt к интегрированию по dω пределы останутся поэтому прежними:

ΔI = −   dω.                                  (51.5)

Подставим сюда (51.4) и преобразуем интеграл, рассматривая в нем формальным образом ω как комплексную переменную. Предположив, что подынтегральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях ω, сместим путь интегрирования с вещественной оси ω в верхнюю полуплоскость этой переменной. При этом контур «зацепляется» за особые точки подынтегрального выражения и, огибая их, принимает вид, показанный схематически на рис. 56.

Рис. 56