Страница 3 из 3
Выделим область пространства, включающую в себя все рассматриваемые массы. В четырехмерном пространстве-времени эта область с течением времени прорезывает «канал». Вне этого «канала» поле убывает, так что 4-пространство асимптотически приближается к плоскому. В связи с этим при вычислении энергии и импульса поля надо выбрать четырехмерную систему координат таким образом, чтобы по мере удаления от канала она переходила в галилееву систему и все tik исчезали.
Этим требованием система отсчета, конечно, отнюдь не определяется однозначно, — внутри канала она может быть выбрана произвольно. В полном согласии с физическим смыслом величин Pi они оказываются, однако, совершенно не зависящими от выбора системы координат внутри «канала». Действительно, рассмотрим две системы координат, различные внутри «канала», но переходящие вдали от него в одну и ту же галилееву систему, и сравним значения 4-импульса Рi и Р'i в этих двух системах в определенные моменты «времени» x0 и x'0. Введем третью систему координат, совпадающую внутри «канала» в момент x0 с первой системой, в момент x'0 — со второй, а вдали от «канала»—с той же галилеевой. В силу закона сохранения энергии и импульса величины Рi постоянны (dPi/dx0=0). Это имеет место в третьей системе координат, как и в первых двух. Отсюда следует Рi=Р'i, что и требовалось доказать.
Выше было отмечено, что величины tik являются тензором по отношению к линейным преобразованиям координат. Поэтому величины Pi образуют 4-вектор по отношению к таким преобразованиям, в частности по отношению к преобразованиям Лоренца, переводящим на бесконечности одну галилееву систему отсчета в другую.
4-импульс Рi может быть выражен также в виде интеграла по удаленной трехмерной поверхности, охватывающей «все пространство». Подставив (96.5) в (96.11), находим
Pi = 
dSk.
Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по обычной поверхности с помощью (6.17):
Pi = 
hikld
. (96.15)
Если в качестве области интегрирования в (96.11) выбирается гиперповерхность x0=const, то в (96.15) поверхность интегрирования оказывается чисто пространственной поверхностью:
Pi = hi0αdfα. (96.16)
Заметим, что величины hi0α убывают в стационарном случае на больших расстояниях от тел по закону 1/r2, так что интеграл (96.16) остается конечным при удалении поверхности интегрирования на бесконечность.
Для вывода аналогичной формулы для момента импульса подставим (96.5) в (96.13) и представим hikl в виде (96.2). Проинтегрировав затем «по частям», найдем
Mik = 
xi 
− xk 
dSl = xi 
− xk 
d
− 
− 
dSl = (xihklm − xkhilm) d − 
(λklin − λilkn)dSl.
Из определения величин легко видеть, что
λilkn − λklin = λilnk.
Поэтому оставшийся интеграл dSl равен
dSl = λilnk d
.
Наконец, снова выбирая чисто пространственную поверхность интегрирования, получим окончательно:
Mik = (xihk0α − xkhi0α + λi0αk) dfα. (96.17)
