13 | 06 | 2024

Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

Выделим область пространства, включающую в себя все рассматриваемые массы. В четырехмерном пространстве-времени эта область с течением времени прорезывает «канал». Вне этого «канала» поле убывает, так что 4-пространство асимптотически приближается к плоскому. В связи с этим при вычислении энергии и импульса поля надо выбрать четырехмерную систему координат таким образом, чтобы по мере удаления от канала она переходила в галилееву систему и все tik исчезали.

Этим требованием система отсчета, конечно, отнюдь не определяется однозначно, — внутри канала она может быть выбрана произвольно. В полном согласии с физическим смыслом величин Pi они оказываются, однако, совершенно не зависящими от выбора системы координат внутри «канала». Действительно, рассмотрим две системы координат, различные внутри «канала», но переходящие вдали от него в одну и ту же галилееву систему, и сравним значения 4-импульса Рi и Р'i в этих двух системах в определенные моменты «времени» x0 и x'0. Введем третью систему координат, совпадающую внутри «канала» в момент x0 с первой системой, в момент x'0 — со второй, а вдали от «канала»—с той же галилеевой. В силу закона сохранения энергии и импульса величины Рi постоянны (dPi/dx0=0). Это имеет место в третьей системе координат, как и в первых двух. Отсюда следует Рi=Р'i, что и требовалось доказать.

Выше было отмечено, что величины tik являются тензором по отношению к линейным преобразованиям координат. Поэтому величины Pi образуют 4-вектор по отношению к таким преобразованиям, в частности по отношению к преобразованиям Лоренца, переводящим на бесконечности одну галилееву систему отсчета в другую.

4-импульс Рi может быть выражен также в виде интеграла по удаленной трехмерной поверхности, охватывающей «все пространство». Подставив (96.5) в (96.11), находим

Pi = dSk.

Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по обычной поверхности с помощью (6.17):

Pi hikld.                  (96.15)

Если в качестве области интегрирования в (96.11) выбирается гиперповерхность x0=const, то в (96.15) поверхность интегрирования оказывается чисто пространственной поверхностью:

Pi =   hi0αdfα.                     (96.16)

Заметим, что величины hi0α убывают в стационарном случае на больших расстояниях от тел по закону 1/r2, так что интеграл (96.16) остается конечным при удалении поверхности интегрирования на бесконечность.

Для вывода аналогичной формулы для момента импульса подставим (96.5) в (96.13) и представим hikl в виде (96.2). Проинтегрировав затем «по частям», найдем

Mik xi xk  dSl =  xi xk d   −  dSl = (xihklmxkhilm) d   (λklinλilkn)dSl.

Из определения величин легко видеть, что

λilknλklin = λilnk.

Поэтому оставшийся интеграл dSl равен

dSl =   λilnk d.

Наконец, снова выбирая чисто пространственную поверхность интегрирования, получим окончательно:

Mik (xihk0αxkhi0α + λi0αk) dfα.            (96.17)