Страница 3 из 3
Для этого заметим, что выражение в правой части этого уравнения при любом распределении материи положительно. Действительно, в синхронной системе отсчета для тензора энергии-импульса (94.9) имеем
− 
T = (ε + 3p) + 
(компоненты 4-скорости — из (88.14)); положительность этой величины очевидна. То же самое справедливо и для тензора энергии-импульса электромагнитного поля (Т=0, — положительная плотность энергии поля]. Таким образом, имеем из (97.11):
− 
= 
+ 
⩽ 0 (97.14)
(знак равенства достигается в пустом пространстве).
В силу алгебраического неравенства2)
⩾ 
()2
можно переписать (97.14) в виде
+ 
()2 ⩽ 0
или
⩾ . (97.15)
Пусть, например, в некоторый момент времени >0. Тогда при уменьшении t величина 1/ убывает, имея всегда конечную (не равную нулю) производную, и потому должна обратиться в нуль (с положительной стороны) в течение конечного времени. Другими словами, обращается в +∞, а поскольку =∂lnγ/∂t, то это значит, что определитель γ обращается в нуль (причем, согласно неравенству (97.15), не быстрее чем t6). Если же в начальный момент <0, то же самое получится для возрастающего времени.
Этот результат, однако, отнюдь не доказывает неизбежности существования истинной, физической особенности в метрике. Физической особенностью является лишь такая, которая свойственна пространству-времени как таковому и не связана с характером выбранной системы отсчета (такая особенность должна характеризоваться обращением в бесконечность скалярных величин — плотности материи, инвариантов тензора кривизны). Особенность же в синхронной системе отсчета, неизбежность которой мы доказали, в общем случае в действительности является фиктивной, исчезающей при переходе к другой (не синхронной) системе отсчета. Ее происхождение ясно из простых геометрических соображений.
Мы видели выше, что построение синхронной системы сводится к построению семейства геодезических линий, ортогональных к какой-либо пространственноподобной гиперповерхности. Но геодезические линии произвольного семейства, вообще говоря, пересекаются друг с другом на некоторых огибающих гиперповерхностях — четырехмерных аналогах каустических поверхностей геометрической оптики. Пересечение же координатных линий дает, разумеется, особенность в метрике в данной координатной системе. Таким образом, имеется геометрическая причина для появления особенности, связанной со специфическими свойствами синхронной системы и потому не имеющей физического характера. Произвольная метрика 4-пространства допускает, вообще говоря, существование также и непересекающихся семейств времениподобных геодезических линий. Неизбежность же обращения в нуль определителя γ в синхронной системе означает, что допускаемые уравнениями поля свойства кривизны реального (не плоского) пространства-времени (выражаемые неравенством ⩾0) исключают возможность существования таких семейств, так что линии времени во всякой синхронной системе отсчета непременно пересекаются друг с другом.
Мы упоминали выше о том, что для пылевидной материи синхронная система отсчета может быть в то же время и сопутствующей. В таком случае плотность материи обратится на каустике в бесконечность, — просто как результат пересечения мировых траекторий частиц, совпадающих с линиями времени. Ясно, однако, что эта особенность плотности устранится уже введением сколь угодно малого, но отличного от нуля давления материи и в этом смысле тоже не имеет физического характера.
