Тензор электромагнитного поля

Мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя из функции Лагранжа (16.4), написанной в трехмерном виде. Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия (16.1), написанного в четырехмерных обозначениях.

Принцип наименьшего действия гласит

δS = δ(−mcds − A_idxⁱ) = 0.                 (23.1)

Замечая, что ds=, находим (пределы интегрирования a и b мы будем ниже для краткости опускать):

δS = −(mc +  A_idδxⁱ + δA_idxⁱ) = 0.

Первые два члена в подынтегральном выражении проинтегрируем по частям. Кроме того, в первом члене введем 4-скорость dx_i/ds=u_i. Тогда

(mcdu_iδxⁱ +  δxⁱdA_i − δA_idxⁱ) − (mcu_i + A_i) δxⁱ = 0.       (23.2)

Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах. Далее,

δA_i =  δx^k,  dA_i =  dx^k,

и поэтому

(mcdu_iδxⁱ +   δxⁱdx^k − dxⁱδx^k) = 0.

Напишем в первом члене du_i=ds, во втором и третьем dxⁱ=uⁱds. Кроме того, в третьем члене поменяем местами индексы i и к (это ничего не изменит, так как по значкам i и k производится
суммирование). Тогда

mc − − u^kδxⁱds = 0.

Ввиду произвольности δxⁱ отсюда следует, что подынтегральное выражение равно нулю:

mc  − − u^k = 0.

Введем обозначение

F_ik = − ;                         (23.3)

этот антисимметричный тензор называется тензором электромагнитного поля.