Страница 1 из 2
Мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя из функции Лагранжа (16.4), написанной в трехмерном виде. Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия (16.1), написанного в четырехмерных обозначениях.
Принцип наименьшего действия гласит
δS = δ
(−mcds −
Aidxi) = 0. (23.1)
Замечая, что ds=
, находим (пределы интегрирования a и b мы будем ниже для краткости опускать):
δS = −
(mc
+
Aidδxi +
δAidxi) = 0.
Первые два члена в подынтегральном выражении проинтегрируем по частям. Кроме того, в первом члене введем 4-скорость dxi/ds=ui. Тогда
(mcduiδxi +
δxidAi −
δAidxi) − (mcui +
Ai) δxi = 0. (23.2)
Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах. Далее,
δAi =
δxk, dAi =
dxk,
и поэтому
(mcduiδxi +
δxidxk −
dxiδxk) = 0.
Напишем в первом члене dui=
ds, во втором и третьем dxi=uids. Кроме того, в третьем члене поменяем местами индексы i и к (это ничего не изменит, так как по значкам i и k производится
суммирование). Тогда

mc
−

− 
uk
δxids = 0.
Ввиду произвольности δxi отсюда следует, что подынтегральное выражение равно нулю:
mc
−

− 
uk = 0.
Введем обозначение
Fik =
−
; (23.3)
этот антисимметричный тензор называется тензором электромагнитного поля.